我觉得这篇得重写,因为现在看来就是抄书...
A general study of quantum physics. Applicable both to quantum mechanics and quantum field theory.
量子场论的主要任务是将洛伦兹协变性纳入量子力学框架.
对量子力学的回顾.
量子力学中,物理量由希尔伯特空间中的“射线”(rays)确定.Rays是希尔伯特空间中模长为一的态矢.但是仍然,任意一个射线\(\Psi\)在乘上一个相因子\(e^{i\theta}\)后表示同一个物理状态.
希尔伯特空间是赋范线性空间,其内积满足以下我们熟知的一些性质:
\[ (\Phi,\Psi)=(\Psi,\Phi)^{*}, \] \[ (\Phi, \xi_1 \Psi_1 + \xi_2 \Psi_2) = \xi_1(\Phi, \Psi_1) + \xi_2(\Phi, \Psi_2), \] \[ (\xi_1 \Phi_1 + \xi_2 \Phi_2, \Psi) = \xi_1^{*}(\Phi_1, \Psi) + \xi_2^{*}(\Phi_2, \Psi). \]观测量由线性的厄密算子表示,算符的厄密性由伴算符定义而来,厄密算符即希尔伯特空间中的自伴算符.
然后就是概率诠释,M过程,比较熟悉不细讲.
讨论量子力学中的对称变换.
首先明确什么是对称变换.一个变换,将一个ray映射到另一个ray,而其对称性要求任何实验的结果不变,也即在变换前后,某个ray坍缩到某一个本征矢的概率不变.换句话说,对称变换是“保内积的模方”的.
Wigner告诉我们,任何一个希尔伯特空间中的对rays的变换,我们都可以用一个算符\(U\)来表示,此算符\textbf{要么是线性且酉的,要么是反线性且反酉的}.
回忆一下,酉算符的定义是“保内积”(比保内积的模方更强),暂且不了解后者,也许物理意义不大,也许是我不懂.
显见自伴算符的定义与反线性性质相矛盾,因此对于后者我们定义反厄密共轭
\[ (\Phi, A^{\dagger}\Psi) \equiv (A\Phi, \Psi)^{*}. \]这样,酉算符和反酉算符都可以表述为“(反)厄密共轭=逆算符”.
我们感兴趣的是能用单参数表示的连续变换,且反酉反线性算符均涉及时间反演,暂不予讨论.
一个无穷小变换(\(\epsilon\)当然是实的)
\[ U = 1 + i\epsilon t. \]其中\(i\)的出现参见知乎Riinn的某个回答,是为了保证算符\(t\)的厄密性,注意不要脑海中把\(t\)带入时间,它是算符.
对称变换构成一个群,这里的transformation指的是希尔伯特空间里面rays的变换.它对乘法封闭,有逆元和单位元.
现在考虑这样一个问题:对称变换的算符\(U\)原本是作用于ray,现在我们将其作用于希尔伯特空间中任意一个矢量,注意相较于一个ray,一个矢量在模长和相位上都有不确定性.对于酉算符,其保模长.
\[ U(T_2)U(T_1)\Psi_n = e^{i \Phi_n (T_2, T_1)}U(T_2 T_1)\Psi_n. \]下标\(n\)意味着我们暂且认为相位与态矢量有关.下面我们说明事实上无关,这由(反)酉算符的(反)线性性保证.
\begin{aligned} e^{i\Phi_{AB}}U(T_2 T_1)(\Psi_A + \Psi_B) &= U(T_2)U(T_1)(\Psi_A + \Psi_B)\\ &= U(T_2)U(T_1)\Psi_A + U(T_2)U(T_1)\Psi_B\\ &= e^{i\Phi_A}U(T_2 T_1)\Psi_A + e^{i\Phi_B}U(T_2 T_1)\Psi_B. \end{aligned}由于每个酉算符都有其逆,等式两边同时作用\(U^{-1}(T_2 T_1)\),再由\(\Psi_A, \Psi_B\)的非线性相关性可知附加相位和vector无关,只和变换有关.
\[ U(T_2)U(T_1)\Psi = e^{i\Phi(T_2, T_1)}U(T_2 T_1)\Psi. \]若该相位为0,我们说\(U(T)\)构成了对称变换群的一个表示,否则我们说“projective representation”(这时就不isomorphic了).
一个例外是若叠加原理不成立,我们说有“superselection rule”,但是我的物理不好,暂且没有学过.目前我们假定\(\Phi = 0\).
通过以上的讨论,我们知晓了系统的对称变换(构成群,作用于rays)是如何被希尔伯特空间中的一个算子(作用于希尔伯特矢量)表示的.
在各种变换构成的群中,我们感兴趣的是连通李群.一个群元可以有一组连续的实参量描写,比如\(\theta^a\),因此为描述群的乘法,我们可以有
\[ T(\overline\theta)T(\theta) = T(f(\overline\theta, \theta)). \]\(f^a(\overline\theta, \theta)\)当然应该是\({\overline\theta} {}^a,\theta^a\)的连续实函数,且
\[ f^a(\theta, 0) = f^a(0, \theta) = \theta. \]已经提到,这样一个连续群的变换能够被\textbf{物理的}希尔伯特空间中的酉算符\(U(T(\theta))\)表示,将其在\(\theta = 0\)附近展开
\[ U(T(\theta)) = 1 + i\theta^a t_a + \frac{1}{2} \theta^b \theta^c t_{bc} + \cdots, \]同样\(i\)也是为了\(t\)的厄密性.
接下来,我们希望能够通过函数\(f(\overline\theta, \theta)\)的形式,来导出算符展开式中的\(t\).
\[ f^a(\overline\theta, \theta) = \theta^a + \overline\theta{}^a + f^a{}_{bc}\overline\theta{}^b\theta^c, \] \begin{aligned} &(1 + i\overline \theta{}^a t_a + \frac{1}{2}\overline\theta{}^b \overline\theta{}^c t_{bc} + \cdots)\times(1+i\theta^a t_a + \frac{1}{2}\theta^b \theta^c t_{bc})\\ &=1 + i(\theta^a +\overline\theta{}^a+f^a{}_{bc}\overline\theta{}^b \theta^c + \cdots)t_a\\ &+ \frac{1}{2}(\theta^b + \overline\theta{}^b + \cdots)(\theta^c + \overline\theta{}^c + \cdots)t_{bc} + \cdots. \end{aligned}对比两边系数即可得到
\[ t_{bc} = -t_b t_c - i f^a{}_{bc}t_a. \]这就是说,给定李群的乘法结构\(f(\theta, \overline\theta)\),就可以导出算符展开式中的\(t_{bc}\),而\(t_{bc}\)必然是关于\(b,c\)对称的,由此我们得到了李代数:
\[ [t_b, t_c] = iC^a{}_{bc}t_a, \]其中,
\[ C^a{}_{bc} \equiv -f^a{}_{bc} + f^a{}_{cb}. \]考虑一个比较物理的例子(庞加莱群中的平移),它的乘法结构给出
\[ f^a(\theta + \overline\theta) = \theta^a + \overline\theta^a, \]能够看出任两个生成元对易.并且可以求出
\[ U(T(\theta)) = \left[U\left(T\left(\frac{\theta}{N}\right)\right)\right]^N = \lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{i}{N}\theta^a t_a\right]^N = \exp(it_a\theta^a). \]狭义相对论中最重要的是洛伦兹变换,本节研究洛伦兹变换的一些基本性质(比较熟悉)和变换引入的希尔伯特空间上的算符(不太熟悉).
洛伦兹变换可以由时空距离不变给出定义
\[ \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x'^{\mu}\mathrm{d}x'^{\nu} = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}. \]闵氏度规,三正一负,可以保证光速在洛伦兹变换下不变.
这要求了坐标变换的线性\(x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu} + a^{\mu},\)\(\Lambda\)即是坐标变换矩阵.
不难发现这样的坐标变换构成一个群,将群元记作\(T(\Lambda, a)\),乘法法则
\[ T(\overline\Lambda, \overline a)T(\Lambda, a) = T(\overline\Lambda \Lambda, \overline\Lambda a + \overline a). \]变换矩阵有一些显然的性质,比如行列式为1.同样考虑希尔伯特空间的算符,由于之前提到的原因,不考虑相位的不确定性,则算符\(U(\Lambda, a)\)满足完全一样的乘法法则.
把\(a = 0\)的变换称做构成homogeneous Lorentz群.该群可以通过「行列式的正负」和「00对角元的正负」分为四类(注意到00对角元平方等于剩下三个对角元平方和加一).由于我们不可能通过参数的连续变换让行列式或00对角元突然反号,因此我们仅分析群的某个单连通区域\(\mathrm{Det} \Lambda = 1,\quad\Lambda^0{}_0 > 0\).行列式反号通过空间反演做到,00对角元反号通过时间反演做到.
庞加莱群即inhomogeneous Lorentz群,不假定\(a = 0\),下面研究群的李代数结构,称做庞加莱代数.李代数的结构,其实就是最小生成元满足的李括号关系.
自然我们希望考虑无穷小变换\(T(\delta^{\mu}{}_{\nu} + \omega^{\mu}{}_{\nu},\epsilon^{\mu})\),且满足时空距离不变条件
\[ \eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}(\delta^{\mu}{}_{\rho} + \omega^{\mu}{}_{\rho})(\delta^{\nu}{}_{\sigma} + \omega^{\nu}{}_{\sigma}) = \eta_{\sigma\rho} + \omega_{\sigma\rho} + \omega_{\rho\sigma}, \]已略去二阶项,同时使用了闵氏度规可将指标 降的惯例,因此洛伦兹变换的无穷小变换是反对称的,有6个自由度,再加上平移有10个.依照惯例,我们考虑希尔伯特空间中的算符\(U\),从而导出其最小生成元.