我觉得这篇得重写，因为现在看来就是抄书...
A general study of quantum physics. Applicable both to quantum mechanics and quantum field theory.
量子场论的主要任务是将洛伦兹协变性纳入量子力学框架．
对量子力学的回顾．
量子力学中，物理量由希尔伯特空间中的“射线”(rays)确定．Rays是希尔伯特空间中模长为一的态矢．但是仍然，任意一个射线\(\Psi\)在乘上一个相因子\(e^{i\theta}\)后表示同一个物理状态．
希尔伯特空间是赋范线性空间，其内积满足以下我们熟知的一些性质：
\[ (\Phi,\Psi)=(\Psi,\Phi)^{*}, \] \[ (\Phi, \xi_1 \Psi_1 + \xi_2 \Psi_2) = \xi_1(\Phi, \Psi_1) + \xi_2(\Phi, \Psi_2), \] \[ (\xi_1 \Phi_1 + \xi_2 \Phi_2, \Psi) = \xi_1^{*}(\Phi_1, \Psi) + \xi_2^{*}(\Phi_2, \Psi). \]观测量由线性的厄密算子表示，算符的厄密性由伴算符定义而来，厄密算符即希尔伯特空间中的自伴算符．
然后就是概率诠释，M过程，比较熟悉不细讲．
讨论量子力学中的对称变换．
首先明确什么是对称变换．一个变换，将一个ray映射到另一个ray，而其对称性要求任何实验的结果不变，也即在变换前后，某个ray坍缩到某一个本征矢的概率不变．换句话说，对称变换是“保内积的模方”的．
Wigner告诉我们，任何一个希尔伯特空间中的对rays的变换，我们都可以用一个算符\(U\)来表示，此算符\textbf{要么是线性且酉的，要么是反线性且反酉的}．
回忆一下，酉算符的定义是“保内积”（比保内积的模方更强），暂且不了解后者，也许物理意义不大，也许是我不懂．
显见自伴算符的定义与反线性性质相矛盾，因此对于后者我们定义反厄密共轭
\[ (\Phi, A^{\dagger}\Psi) \equiv (A\Phi, \Psi)^{*}. \]这样，酉算符和反酉算符都可以表述为“（反）厄密共轭=逆算符”．
我们感兴趣的是能用单参数表示的连续变换，且反酉反线性算符均涉及时间反演，暂不予讨论．
一个无穷小变换（\(\epsilon\)当然是实的）
\[ U = 1 + i\epsilon t. \]其中\(i\)的出现参见知乎Riinn的某个回答，是为了保证算符\(t\)的厄密性，注意不要脑海中把\(t\)带入时间，它是算符．
对称变换构成一个群，这里的transformation指的是希尔伯特空间里面rays的变换．它对乘法封闭，有逆元和单位元．
现在考虑这样一个问题：对称变换的算符\(U\)原本是作用于ray，现在我们将其作用于希尔伯特空间中任意一个矢量，注意相较于一个ray，一个矢量在模长和相位上都有不确定性．对于酉算符，其保模长．
\[ U(T_2)U(T_1)\Psi_n = e^{i \Phi_n (T_2, T_1)}U(T_2 T_1)\Psi_n. \]下标\(n\)意味着我们暂且认为相位与态矢量有关．下面我们说明事实上无关，这由（反）酉算符的（反）线性性保证．
\begin{aligned} e^{i\Phi_{AB}}U(T_2 T_1)(\Psi_A + \Psi_B) &= U(T_2)U(T_1)(\Psi_A + \Psi_B)\\ &= U(T_2)U(T_1)\Psi_A + U(T_2)U(T_1)\Psi_B\\ &= e^{i\Phi_A}U(T_2 T_1)\Psi_A + e^{i\Phi_B}U(T_2 T_1)\Psi_B. \end{aligned}由于每个酉算符都有其逆，等式两边同时作用\(U^{-1}(T_2 T_1)\)，再由\(\Psi_A, \Psi_B\)的非线性相关性可知附加相位和vector无关，只和变换有关．
\[ U(T_2)U(T_1)\Psi = e^{i\Phi(T_2, T_1)}U(T_2 T_1)\Psi. \]若该相位为0，我们说\(U(T)\)构成了对称变换群的一个表示，否则我们说“projective representation”（这时就不isomorphic了）．
一个例外是若叠加原理不成立，我们说有“superselection rule”，但是我的物理不好，暂且没有学过．目前我们假定\(\Phi = 0\)．
通过以上的讨论，我们知晓了系统的对称变换（构成群，作用于rays）是如何被希尔伯特空间中的一个算子（作用于希尔伯特矢量）表示的．
在各种变换构成的群中，我们感兴趣的是连通李群．一个群元可以有一组连续的实参量描写，比如\(\theta^a\)，因此为描述群的乘法，我们可以有
\[ T(\overline\theta)T(\theta) = T(f(\overline\theta, \theta)). \]\(f^a(\overline\theta, \theta)\)当然应该是\({\overline\theta} {}^a,\theta^a\)的连续实函数，且
\[ f^a(\theta, 0) = f^a(0, \theta) = \theta. \]已经提到，这样一个连续群的变换能够被\textbf{物理的}希尔伯特空间中的酉算符\(U(T(\theta))\)表示，将其在\(\theta = 0\)附近展开
\[ U(T(\theta)) = 1 + i\theta^a t_a + \frac{1}{2} \theta^b \theta^c t_{bc} + \cdots, \]同样\(i\)也是为了\(t\)的厄密性．
接下来，我们希望能够通过函数\(f(\overline\theta, \theta)\)的形式，来导出算符展开式中的\(t\)．
\[ f^a(\overline\theta, \theta) = \theta^a + \overline\theta{}^a + f^a{}_{bc}\overline\theta{}^b\theta^c, \] \begin{aligned} &(1 + i\overline \theta{}^a t_a + \frac{1}{2}\overline\theta{}^b \overline\theta{}^c t_{bc} + \cdots)\times(1+i\theta^a t_a + \frac{1}{2}\theta^b \theta^c t_{bc})\\ &=1 + i(\theta^a +\overline\theta{}^a+f^a{}_{bc}\overline\theta{}^b \theta^c + \cdots)t_a\\ &+ \frac{1}{2}(\theta^b + \overline\theta{}^b + \cdots)(\theta^c + \overline\theta{}^c + \cdots)t_{bc} + \cdots. \end{aligned}对比两边系数即可得到
\[ t_{bc} = -t_b t_c - i f^a{}_{bc}t_a. \]这就是说，给定李群的乘法结构\(f(\theta, \overline\theta)\)，就可以导出算符展开式中的\(t_{bc}\)，而\(t_{bc}\)必然是关于\(b,c\)对称的，由此我们得到了李代数：
\[ [t_b, t_c] = iC^a{}_{bc}t_a, \]其中，
\[ C^a{}_{bc} \equiv -f^a{}_{bc} + f^a{}_{cb}. \]考虑一个比较物理的例子（庞加莱群中的平移），它的乘法结构给出
\[ f^a(\theta + \overline\theta) = \theta^a + \overline\theta^a, \]能够看出任两个生成元对易．并且可以求出
\[ U(T(\theta)) = \left[U\left(T\left(\frac{\theta}{N}\right)\right)\right]^N = \lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{i}{N}\theta^a t_a\right]^N = \exp(it_a\theta^a). \]狭义相对论中最重要的是洛伦兹变换，本节研究洛伦兹变换的一些基本性质（比较熟悉）和变换引入的希尔伯特空间上的算符（不太熟悉）．
洛伦兹变换可以由时空距离不变给出定义
\[ \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x'^{\mu}\mathrm{d}x'^{\nu} = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu}. \]闵氏度规，三正一负，可以保证光速在洛伦兹变换下不变．
这要求了坐标变换的线性\(x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu} + a^{\mu},\)\(\Lambda\)即是坐标变换矩阵．
不难发现这样的坐标变换构成一个群，将群元记作\(T(\Lambda, a)\)，乘法法则
\[ T(\overline\Lambda, \overline a)T(\Lambda, a) = T(\overline\Lambda \Lambda, \overline\Lambda a + \overline a). \]变换矩阵有一些显然的性质，比如行列式为1．同样考虑希尔伯特空间的算符，由于之前提到的原因，不考虑相位的不确定性，则算符\(U(\Lambda, a)\)满足完全一样的乘法法则．
把\(a = 0\)的变换称做构成homogeneous Lorentz群．该群可以通过「行列式的正负」和「00对角元的正负」分为四类（注意到00对角元平方等于剩下三个对角元平方和加一）．由于我们不可能通过参数的连续变换让行列式或00对角元突然反号，因此我们仅分析群的某个单连通区域\(\mathrm{Det} \Lambda = 1,\quad\Lambda^0{}_0 > 0\)．行列式反号通过空间反演做到，00对角元反号通过时间反演做到．
庞加莱群即inhomogeneous Lorentz群，不假定\(a = 0\)，下面研究群的李代数结构，称做庞加莱代数．李代数的结构，其实就是最小生成元满足的李括号关系．
自然我们希望考虑无穷小变换\(T(\delta^{\mu}{}_{\nu} + \omega^{\mu}{}_{\nu},\epsilon^{\mu})\)，且满足时空距离不变条件
\[ \eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}(\delta^{\mu}{}_{\rho} + \omega^{\mu}{}_{\rho})(\delta^{\nu}{}_{\sigma} + \omega^{\nu}{}_{\sigma}) = \eta_{\sigma\rho} + \omega_{\sigma\rho} + \omega_{\rho\sigma}, \]已略去二阶项，同时使用了闵氏度规可将指标 降的惯例，因此洛伦兹变换的无穷小变换是反对称的，有6个自由度，再加上平移有10个．依照惯例，我们考虑希尔伯特空间中的算符\(U\)，从而导出其最小生成元．